java 海伦公式编程

海伦公式的几种另证及其推广

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关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：

设△abc中，a、b、c分别为角a、b、c的对边，ha为a边上的高，r、r分别为△abc外接圆、内切圆的半径，p

=

(a+b+c),则

s△abc

=

aha=

ab×sinc

=

r

p

=

2r2sinasinbsinc

=

=

其中，s△abc

=

就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。

海伦公式在解题中有十分重要的应用。

一、

海伦公式的变形

s=

=

①

=

②

=

③

=

④

=

⑤

二、

海伦公式的证明

证一

勾股定理

分析：先从三角形最基本的计算公式s△abc

=

aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。

证明：如图ha⊥bc，根据勾股定理，得:

x

=

y

=

ha

=

=

=

∴

s△abc

=

aha=

a×

=

此时s△abc为变形④，故得证。

证二：斯氏定理

分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。

斯氏定理:△abc边bc上任取一点d，

若bd=u，dc=v,ad=t.则

t

2

=

证明：由证一可知，u

=

v

=

∴

ha

2

=

t

2

=

－

∴

s△abc

=

aha

=

a

×

=

此时为s△abc的变形⑤，故得证。

证三：余弦定理

分析：由变形②

s

=

可知，运用余弦定理

c2

=

a2

+

b2

－2abcosc

对其进行证明。

证明：要证明s

=

则要证s

=

=

=

ab×sinc

此时s

=

ab×sinc为三角形计算公式，故得证。

证四：恒等式

分析：考虑运用s△abc

=r

p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。

恒等式：若∠a+∠b+∠c

=180○那么

tg

·

tg

+

tg

·

tg

+

tg

·

tg

=

1

证明：如图，tg

=

①

tg

=

②

tg

=

③

根据恒等式，得：

+

+

=

①②③代入，得：

∴r2(x+y+z)

=

xyz

④

如图可知：a＋b－c

=

(x+z)＋(x+y)－(z+y)

=

2x

∴x

=

同理：y

=

z

=

代入

④，得：

r

2

·

=

两边同乘以

，得：

r

2

·

=

两边开方，得：

r

·

=

左边r

·

=

r·p=

s△abc

右边为海伦公式变形①，故得证。

证五：半角定理

半角定理：tg

=

tg

=

tg

=

证明：根据tg

=

=

∴r

=

×

y

①

同理r

=

×

z

②

r

=

×

x

③

①×②×③,得：

r3

=

×xyz

向量的问题 ！在线等待！

∵A+B+C=180度,

A+B=180-C,

sin(A+B)=sin(180-C)=sinC,

sinA*cosB+cosA*ainB=sinC,

∵cosA=-5/13,cosB=3/5.

sinA=√(1-cos^2A)=12/13,

sinB=√(1-cos^2B)=4/5,

∴sinC=sinA*cosB+cosA*ainB=16/65,

设BC=5,

BC/sinA=AB/sinC,

AB=(sinC/sinA)*BC=4/3,

三角形ABC的面积=1/2sinB*AB*BC=8/3.

Java编程——求解几何图形的周长、面积的程序。

/**

* The Class PerimeterArea. This Class is to compute perimeter and area

*/

public class PerimeterArea {

/**

* The main method.

*

* @param args

* the arguments

*/

public static void main(String[] args) {

Shape TriangleObj = new Triangle(3, 4, 5);// 定义三边为3,4,5的三角形

Shape RectangleObj = new Rectangle(5, 6);// 定义长为5，宽为6的矩形

Shape CircleObj = new Circle(5);// 定义半径为5的对象

// 打印各个形状的周长和面积

System.out.println(TriangleObj.toString());

System.out.println(RectangleObj.toString());

System.out.println(CircleObj.toString());

}

}

// 周长接口

interface perimeter {

public abstract double cutePerimeter();

}

// 面积接口

interface area {

public abstract double cuteArea();

}

// 抽象形状类

abstract class Shape implements perimeter, area {

public abstract double cutePerimeter();

public abstract double cuteArea();

}

// 三角形

class Triangle extends Shape {

private int aSide;

private int bSide;

private int cSide;

public Triangle(){}

public Triangle(int aSide, int bSide, int cSide) {

this.aSide = aSide;

this.bSide = bSide;

this.cSide = cSide;

}

public double cutePerimeter() {

return aSide + bSide + cSide;

}

public double cuteArea() {

//面积公式

/*设三边长分别为A、B、C，面积为S；周长的一半P为（A+B+C）/2.

S=√[P（P-A）*（P-B）*（P-C）].

√为开二次方. */

int x = (aSide + bSide + cSide) / 2;

return Math.sqrt(x*(x-aSide)*(x-bSide)*(x-cSide));

}

public int getASide() {

return aSide;

}

public void setASide(int side) {

aSide = side;

}

public int getBSide() {

return bSide;

}

public void setBSide(int side) {

bSide = side;

}

public int getCSide() {

return cSide;

}

public void setCSide(int side) {

cSide = side;

}

public String toString() {

return "三角形的周长为:" + cutePerimeter() + "\n三角形的面积为:" + cuteArea() + "\n";

}

}

// 矩形

class Rectangle extends Shape {

private int longLength;

private int widthLength;

public Rectangle(){}

public Rectangle(int longLength, int widthLength) {

this.longLength = longLength;

this.widthLength = widthLength;

}

public double cutePerimeter() {

return 2 * (longLength + widthLength);

}

public double cuteArea() {

return longLength * widthLength;

}

public int getLongLength() {

return longLength;

}

public void setLongLength(int longLength) {

this.longLength = longLength;

}

public int getWidthLength() {

return widthLength;

}

public void setWidthLength(int widthLength) {

this.widthLength = widthLength;

}

public String toString() {

return "矩形的周长为:" + cutePerimeter() + "\n矩形的面积为:" + cuteArea() + "\n";

}

}

// 圆形

class Circle extends Shape {

public final double pi = 3.14;

private double radius;

public Circle(){}

public Circle(double radius) {

this.radius = radius;

}

public double cutePerimeter() {

return 2 * pi * radius;

}

public double cuteArea() {

return pi * radius * radius;

}

public double getRadius() {

return radius;

}

public void setRadius(double radius) {

this.radius = radius;

}

public String toString() {

return "圆形的周长为:" + cutePerimeter() + "\n圆形的面积为:" + cuteArea() + "\n";

}

}

三角形面积已经修正~谢谢楼上的兄弟~set和get方法只是为了拓展性考虑~不局限于new才能设置参数值

java实现如下：已知平面内三点，其中一个为顶点，求顶点与其他两点构成直线的夹角。

//trangle 函数里面是三点坐标。其中A为直角

public static void trangle(double a_x,double a_y,double b_x,double b_y,double c_x,double c_y){

//Math.sqrt(x)表示开根号。Math.pow(x,n)表示x的n次方。

double ab = Math.sqrt(Math.pow(a_x-b_x, 2) + Math.pow(a_y - b_y, 2));//直线ab

double ac = Math.sqrt(Math.pow(a_x-c_x, 2) + Math.pow(a_y - c_y, 2));//直线bc

//求角B，C度数。Math.PI表示π；Math.atan2(x, y)表示arctant(x/y),在Java中是弧线长度，因此要将长度转换为度数。

double B = Math.atan2(ac, ab)*180/Math.PI;

double C = Math.atan2(ab, ac)*180/Math.PI;

System.out.println("B："+B+"°\nC:"+C+"°");

}

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