3D图形:矩阵、欧拉角、四元数与方位的故事

1、角位移是方向上的变化（例如，从旧方位到新方位的角位移，或者从惯性坐标系到物体坐标系的角位移），“方位”是一个单一的状态，“角位移”是描述两个状态之间的差别。

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2、在游戏开发中，经常会接触到旋转，常用的旋转方式有使用矩阵旋转，使用欧拉角旋转和使用四元数旋转。在本篇中，主要研究欧拉角和四元数。

3、四元数使用四个数来表达方位，因此命名为四元数用三个数来表达3D方位，一定会导致万向锁的问题。一个四元数包含一个标量分量和一个3D向量分量。

4、四元素与欧拉角之间的转换 在3D图形学中，最常用的旋转表示方法便是四元数和欧拉角，比起矩阵来具有节省存储空间和方便插值的优点。

欧拉角说明

1、欧拉角包括3个旋转，根据这3个旋转来指定一个刚体的朝向。这3个旋转分别绕x轴，y轴和z轴，分别称为Pitch，Yaw和Roll，如下图所示。欧拉角可以表示成z-x-z，x-y-x，z-y-z等形式，旋转的顺序影响结果。

2、定点转动的刚体通常用欧拉角ψ、θ、φ来定位。刚体的定点转动方程为： 式中t为时间。达朗伯－欧拉定理 　可表述为：定点转动刚体的任何有限位移可用绕某轴的一次转动来实现，该轴通过刚体的固定点。

3、说明几点：输出的欧拉角单位是弧度；欧拉角的定义有很多种，应用在不同的领域（有时用的名字，例如 Tait-Bryan角）。

4、我喜欢华罗庚。理由：华罗庚一生都奉献给了中国数学，他先后开创了中国解析数论、矩阵几 何学型群、自安函数论等，被誉为“中国现代数学之父”、“人民科学家”。华罗庚被芝加哥大学列人“当今世界88位数学伟人”之一。

5、为了后面的说明的需要，我们来仔细考察下面的一个很有意思的例子。

6、基本调用格式：[r1 r2 r3] = quat2angle(q)[r1 r2 r3] = quat2angle(q， s)其中q为四元数，r1-r3为欧拉角，s为欧拉转序（rotation sequence，有的资料译成“顺规”）。

VR-四元素、欧拉角转换条件

轴角到旋转矩阵的转换； 第二个式子即表明角到旋转矩阵R的转换； 第三个式子中即轴经过旋转后不变，转轴 时矩阵 特征值1对应的特征向量。

四元数到欧拉角的转换 arctan和arcsin的结果是，这并不能覆盖所有朝向(对于θ角的取值范围已经满足)，因此需要用atan2来代替arctan。在其他坐标系下使用 在其他坐标系下，需根据坐标轴的定义，调整一下以上公式。

p=((x，y，z)，0) 其中x，y，z为对应坐标，w量为0方便计算（其他数值也可以，不过转换后结果不会有影响，我们只关注坐标量x，y，z）。

二者可以相互转换。四元数的性质包括满足结合律 不满足交换律 乘积的模等于模的乘积 乘积的逆等于各个四元数的逆以相反的顺序相乘。欧拉角的缺点包括 欧拉角的表示方式不唯一。

[r1 r2 r3] = quat2angle(q)[r1 r2 r3] = quat2angle(q， s)其中q为四元数，r1-r3为欧拉角，s为欧拉转序（rotation sequence，有的资料译成“顺规”）。

欧拉角是什么

1、欧拉角来描述刚体在三维欧几里得空间的取向。对于任何参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。 为欧拉首先提出而得名。它们有多种取法，下面是常见的一种。

2、欧拉角是用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成，因为欧拉首先提出而得名。

3、据公开资料显示；欧拉角是一种描述刚体在三维空间中姿态的方法，通过三个旋转角度描述刚体的旋转状态。在实际应用中，欧拉角常常用于飞行器、机器人、航天器等领域，用来描述物体的姿态和运动状态。

4、欧拉角包括3个旋转，根据这3个旋转来指定一个刚体的朝向。这3个旋转分别绕x轴，y轴和z轴，分别称为Pitch，Yaw和Roll，如下图所示。欧拉角可以表示成z-x-z，x-y-x，z-y-z等形式，旋转的顺序影响结果。

5、欧拉角是表达旋转的最简单的一种方式，形式上它是一个三维向量，其值分别代表物体绕坐标系三个轴(x，y，z轴）的旋转角度。这样的话，很容易想到，同样的一个三维向量，代表了绕x，y，z的旋转值。

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